ज्यामितीय अनुक्रम की एनवीं सीमा को मास्टर करना : सूत्र का खुलासा करना

ज्यामितीय अनुक्रम और इसके n वां पद को समझना

ज्यामितीय अनुक्रम अल्जेब्रा में एक आकर्षक अवधारणा है जिसका कई छात्रों को उनकी गणित यात्रा के दौरान सामना करना पड़ता है। सरलता से, एक ज्यामितीय अनुक्रम नंबरों की एक सूची है जहां पहले के बाद का हर अनुक्रमांक एक गैर-शून्य संख्या से पिछले अनुक्रमांक को गुणा करके प्राप्त किया जाता है जिसे कहा जाता है सामान्य अनुपात.

ज्यामितीय अनुक्रमों का महत्व

ज्यामितीय अनुक्रम केवल अमूर्त गणितीय विचार नहीं हैं, बल्कि वित्त, जीवविज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान में वास्तविक अनुप्रयोग हैं। ज्यामितीय अनुक्रम के nth पद के लिए सूत्र को समझना आपको हर पद को मैन्युअल रूप से गुणा किए बिना मानों की भविष्यवाणी करने में मदद कर सकता है।

ज्यामितीय अनुक्रम के nth पद का सूत्र

गणितीय अनुक्रम के nth शब्द को निर्धारित करने का सूत्र है:

एकn = aएक × r(n-1)

कहाँ:

• एकn = अनुक्रम का nth पद
• एकएक = अनुक्रम का पहला पद
• अनुवाद = सामान्य आनुपात (यह एक गैर-शून्य संख्या होनी चाहिए)
• n = शर्त का स्थान (यह एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए)

सूत्र को तोड़ना

चलो सूत्र के प्रत्येक घटक में और गहराई से जाएँ:

• पहला पद ( एकएकपरीक्षण अनुक्रम की प्रारंभिक बिंदु। उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम 3 से शुरू होता है, एकएक क्या 3 है।
• सामान्य अनुपात (अनुवादपरीक्षण यह वह गुणांक है जिसका उपयोग एक शब्द से अगले शब्द में जाने के लिए किया जाता है। यदि प्रत्येक संख्या को दो गुना किया जाए, तो अनुवाद यह 2 है। यदि प्रत्येक शब्द को आधा कर दिया जाए, अनुवाद 0.5 है।
• पदnपरीक्षण यह उस पद को इंगित करता है जिसे आप अनुक्रम में ढूंढना चाहते हैं। यदि आपको 5वां पद चाहिए, n है 5.

भौगोलिक अनुक्रम के वास्तविक जीवन के उदाहरण

उदाहरण 1: जैविक वृद्धि

एक बैक्टीरिया संस्कृति की कल्पना करें जो हर घंटे दोगुनी होती है। यदि प्रारंभिक जनसंख्या 100 बैक्टीरिया है, तो आप 5 घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या खोजने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

• एकएक = 100
• r = 2
• n = 6 (क्योंकि हम घंटे 0 से शुरू करते हैं)

5 घंटे बाद जीवाणुओं की संख्या है:

एक6 = 100 × 2(6-1) = 100 × 25 = 100 × 32 = 3200

उदाहरण 2: वित्त

मान लीजिए कि आप एक फंड में $1,000 का निवेश करते हैं जो प्रति वर्ष 5% की दर से बढ़ता है। पता करने के लिए कि 10 वर्षों के बाद आपके पास कितना होगा, आप इसे इस प्रकार सेट कर सकते हैं:

• एकएक = 1000
• r = 1.05
• n = 11 (प्रारंभिक निवेश वर्ष को शामिल करते हुए)

10 वर्षों के बाद रकम है:

एक11 = 1000 × 1.05(11-1) = 1000 × 1.0510 = 1000 × 1.62889 ≈ 1628.89 USD

सूत्र का प्रमाणीकरण

आपके मूल्यों का समझ में आना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यहां कुछ दिशा निर्देश दिए गए हैं:

• एकएककोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
• अनुवादशून्य नहीं होना चाहिए।
• nयह एक सकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए।

अक्सर पूछे गए प्रश्न

प्रश्न: अगर सामान्य अनुपात 1 है, तो क्या होगा?

अगर अनुवाद=1, अनुक्रम में हर पद पहले पद के समान है।

क्या सामान्य अनुपात नकारात्मक हो सकता है?

A: हाँ, एक नकारात्मक सामान्य अनुपात के परिणामस्वरूप, पद सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच बदलते रहेंगे।

Q: अगर मुझे दशमलव मानों से शुरू होने वाली अनुक्रम में किसी अंश को ढूंढना हो तो क्या करूं?

संजीवनी का सूत्र दशमलव और भिन्न मानों के लिए भी उतना ही प्रभावी है।

निष्कर्ष

ज्यामितीय अनुक्रम पैटर्न को वर्णित करने और भविष्य के मानों की भविष्यवाणी करने का एक सुंदर तरीका प्रदान करते हैं। चाहे यह जनसंख्या वृद्धि की भविष्यवाणी करना हो या संभावित निवेश पर रिटर्न की गणना करना, यह सूत्र महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए एक सुलभ मार्ग प्रदान करता है।